Maks i točke sagiba Chi-kvadratne distribucije

Matematička statistika koristi tehnike iz različitih grana matematike kako bi konačno dokazao da su izjave u vezi statistike istinite. Vidjet ćemo kako pomoću računice odrediti gore navedene vrijednosti obje maksimalne vrijednosti Chi-kvadratna raspodjela, koja odgovara njegovom načinu, kao i pronaći točke pregiba distribucija.

Prije nego što to učinimo, razgovarat ćemo o značajkama maksima i pregibnih točaka općenito. Također ćemo ispitati metodu za izračunavanje maksimalnih tačaka sagiba.

Za diskretni skup podataka način je vrijednost najčešće prisutna. Na histogramu podataka to bi bilo predstavljeno najvišom trakom. Jednom kada znamo najvišu traku, pogledamo vrijednost podataka koja odgovara bazi za ovu traku. To je način rada za naš skup podataka.

Ista ideja koristi se u radu s kontinuiranom raspodjelom. Ovog puta da bismo pronašli mod, tražit ćemo najveći vrh u distribuciji. Za graf ove distribucije, visina vrha je y vrijednost. Ova vrijednost y naziva se za naš grafikon maksimalna jer je vrijednost veća od bilo koje druge vrijednosti y. Način je vrijednost duž vodoravne osi koja odgovara toj maksimalnoj y-vrijednosti.

Iako jednostavno možemo pogledati graf distribucije da bismo pronašli način, postoje neki problemi s ovom metodom. Naša je točnost dobra samo kao i naš grafikon i vjerojatno ćemo je morati procijeniti. Također mogu postojati poteškoće u graficiranju naše funkcije.

Alternativna metoda koja ne zahtijeva grafikon je upotreba izračuna. Metoda koju ćemo koristiti je sljedeća:

1. Započnite s funkcijom gustoće vjerojatnosti f (x) za našu distribuciju.
2. Izračunajte prvo i drugo derivati ove funkcije: f '(x) i f ''(x)
3. Postavite ovaj prvi derivat jednak nuli f '(x) = 0.
4. Riješite za x.
5. Uključite vrijednost (e) iz prethodnog koraka u drugi derivat i procijenite. Ako je rezultat negativan, tada imamo lokalni maksimum pri vrijednosti x.
6. Ocijenite našu funkciju f (x) na svim točkama x iz prethodnog koraka.
7. Procijenite funkciju gustoće vjerojatnosti na bilo kojoj krajnjoj točki njegove potpore. Dakle, ako funkcija ima domenu zadanu u zatvorenom intervalu [a, b], tada procijenite funkciju na krajnjim točkama i b.
8. Najveća vrijednost u koracima 6 i 7 bit će apsolutni maksimum funkcije. Vrijednost x gdje se pojavljuje ovaj maksimum je način distribucije.

Sada prolazimo kroz gornje korake za izračun načina hi-kvadratne distribucije s r stupnjevi slobode. Počinjemo s funkcijom gustoće vjerojatnosti f(x) koji je prikazan na slici u ovom članku.

f (x) = K x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Ovdje K je konstanta koja uključuje gama funkcija a snaga 2. Ne trebamo znati specifičnosti (međutim, možemo se odnositi na formulu na slici za njih).

Prvi derivat ove funkcije daje se pomoću pravilo proizvoda kao i pravilo lanca:

f '( x ) = K (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Postavili smo ovu izvedenicu jednaku nuli i faktor izraza izračunali na desnoj strani:

0 = K x^{r / 2-1}e^{-x / 2} [(r / 2 - 1)x^-1- 1/2]

Budući da je konstanta K, eksponencijalna funkcija i x^{r / 2-1} sve su nečije, možemo izraziti obje strane jednadžbe s ovim izrazima. Zatim imamo:

0 = (r / 2 - 1)x^-1- 1/2

Pomnožite obje jednadžbe s 2:

0 = (r - 2)x^-1- 1

Dakle 1 = (r - 2)x^-1a zaključujemo imajući x = r - 2. Ovo je točka duž vodoravne osi u kojoj se odvija mod. Ukazuje na x vrijednost vrha naše hi-kvadratne distribucije.

Još jedna značajka krivulje odnosi se na način krivulje. Dijelovi krivulje mogu biti konkavni prema gore, poput gornjeg slova U. Krivulje također mogu biti konkavno dolje i oblikovane poput an križanje simbol ∩. Gdje se krivulja mijenja od konkavne dolje do konkavne prema gore, ili obrnuto, imamo pregibnu točku.

Drugi derivat funkcije detektira konkavnost grafa funkcije. Ako je drugi derivat pozitivan, krivulja je konkavna prema gore. Ako je drugi derivat negativan, krivulja je konkavna prema dolje. Kad je drugi derivat jednak nuli i graf funkcije promijeni konkavnost, imamo točku pregiba.

Da bismo pronašli točke sagiba grafikona:

1. Izračunajte drugi derivat naše funkcije f ''(x).
2. Postavite ovaj drugi derivat jednak nuli.
3. Riješite jednadžbu iz prethodnog koraka za x.

Sada vidimo kako raditi kroz gornje korake za raspodjelu chi-kvadrata. Započinjemo diferenciranjem. Iz gornjeg rada smo vidjeli da je prva izvedenica za našu funkciju:

f '(x) = K (r / 2 - 1) x^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Ponovno se razlikujemo po pravilima proizvoda dvaput. Imamo:

f ''( x ) = K (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}e^{-x / 2} + (K / 4) x^{r / 2-1}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1) x^{r / 2-2}e^{-x / 2}

Postavljamo ovo jednako nuli i obje strane dijelimo sa Ke^{-x / 2}

0= (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}- (1/2) (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}+ (1/ 4) x^{r / 2-1}- (1/ 2)(r/2 - 1) x^{r / 2-2}

Kombinacijom pojmova imamo:

(r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}- (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}+ (1/ 4) x^{r / 2-1}

Pomnožite obje strane sa 4x^{3 - r / 2}, to nam daje:

0 = (r - 2) (r - 4) - (2r - 4)x+ x^2.

Kvadratna formula se sada može koristiti za rješavanje x.

x = [(2r - 4) +/- [(2r - 4)² - 4 (r - 2) (r - 4)]^1/2]/2

Proširujemo pojmove koji su uzeti na 1/2 snage i vidimo sljedeće:

(4R² -16r + 16) - 4 (r² -6r + 8) = 8r - 16 = 4 (2r - 4)

Ovo znači to:

x = [(2r - 4) +/- [(4 (2r - 4)]^1/2] / 2 = (r - 2) +/- [2r - 4]^1/2

Iz ovoga vidimo da postoje dvije pregibne točke. Štoviše, te su točke simetrične u vezi s načinom raspodjele, jer je (r - 2) na pola puta između dviju pregibnih točaka.

Vidimo kako su obje ove značajke povezane s brojem stupnjeva slobode. Te podatke možemo upotrijebiti za pomoć u skiciranju hi-kvadratne distribucije. Tu distribuciju možemo usporediti s drugima, poput normalne. Vidimo da se točke pregiba za hi-kvadratnu distribuciju pojavljuju na različitim mjestima od pregibne točke za normalnu raspodjelu.