Uobičajen parametri za raspodjela vjerojatnosti uključuju srednju i standardnu devijaciju. Srednja vrijednost mjeri središte, a standardno odstupanje govori koliko je raspodijeljena raspodjela. Pored ovih dobro poznatih parametara, postoje i drugi koji skreću pozornost na značajke osim širenja ili središta. Jedno je takvo mjerenje od asimetrija. Skewness daje način pridruživanja brojčane vrijednosti asimetriji distribucije.
Jedna važna distribucija koju ćemo ispitati je eksponencijalna distribucija. Vidjet ćemo kako dokazati da je skonost eksponencijalne distribucije 2.
Funkcija gustoće eksponencijalne vjerojatnosti
Započinjemo navodeći funkciju gustoće vjerojatnosti za eksponencijalnu raspodjelu. Svaka od ovih distribucija ima parametar koji je povezan s parametrom iz pripadajućeg Poissonov postupak. Ovu distribuciju označavamo kao Exp (A), gdje je A parametar. Funkcija gustoće vjerojatnosti za ovu distribuciju je:
f(x) = e-x/ A/ A, gdje x je negativan.
Ovdje e je matematičko konstantno e
to je otprilike 2.718281828. Srednje i standardno odstupanje eksponencijalne raspodjele Exp (A) odnose se na parametar A. Zapravo su i srednja i standardna devijacija jednaka A.Definicija Skewness-a
Nakrivljenost se definira izrazom koji se odnosi na treći trenutak oko srednje vrijednosti. Ovaj izraz je očekivana vrijednost:
E [(X - µ)3/σ3] = (E [X3] - 3µ E [X2] + 3μ2E [X] - μ3)/σ3 = (E [X3] – 3μ(σ2 – μ3)/σ3.
Zamijenimo μ i σ s A, a rezultat je da je skonost E [X3] / A3 – 4.
Ostalo je samo izračunati treću trenutak o podrijetlu. Za to moramo integrirati sljedeće:
∫∞0x3f(x) dx.
Ovaj integral ima beskonačnost jedne od svojih granica. Stoga se može ocijeniti kao neprimjereni integral tipa I. Moramo odrediti i koju tehniku integracije koristiti. Budući da je funkcija za integriranje proizvod polinomne i eksponencijalne funkcije, morali bismo je koristiti integracija po dijelovima. Ova tehnika integracije primjenjuje se nekoliko puta. Krajnji rezultat je da:
E [X3] = 6A3
Zatim kombiniramo ovo sa našom prethodnom jednadžbom za skeniranje. Vidimo da je nagib 6 - 4 = 2.
Implikacije
Važno je napomenuti da rezultat nije ovisan o konkretnoj eksponencijalnoj distribuciji s kojom započinjemo. Nakrivljenost eksponencijalne distribucije ne ovisi o vrijednosti parametra A.
Nadalje, vidimo da je rezultat pozitivan skew. To znači da je raspodjela iskrivljena udesno. To ne bi trebalo biti iznenađenje dok razmišljamo o obliku grafikona funkcije gustoće vjerojatnosti. Sve takve raspodjele imaju y-presjek kao 1 // theta i rep koji ide u krajnji desni dio grafikona, što odgovara visokim vrijednostima varijable x.
Alternativno izračunavanje
Svakako treba spomenuti i da postoji drugi način izračunavanja nagiba. Za eksponencijalnu distribuciju možemo upotrijebiti funkciju generiranja trenutka. Prva izvedenica od funkcija generiranja trenutka procijenjeno na 0 daje nam E [X]. Slično tome, treći derivat funkcije generiranja trenutka kad se procjenjuje na 0 daje nam E (X3].