Koji su trenuci u statistici?

Trenuci u matematičkoj statistici uključuju osnovni izračun. Ovi izračuni mogu se koristiti za pronalaženje srednje vrijednosti, odstupanja i nagiba vjerojatnosti raspodjele vjerojatnosti.

Pretpostavimo da imamo skup podataka s ukupno ndiskretna boda. Jedan važan izračun, koji je zapravo nekoliko brojeva, naziva se ath moment. ath trenutak skupa podataka s vrijednostima x₁, x₂, x₃,..., x_n se daje formulom:

(x₁^a + x₂^a + x₃^a +... + x_n^a)/n

Korištenje ove formule zahtijeva da budemo pažljivi sa svojim redoslijedom operacija. Prvo moramo napraviti eksponente, zbrojiti, a zatim podijeliti ovu sumu sa n ukupni broj vrijednosti podataka.

Uvjet trenutak preuzet je iz fizike. U fizici se trenutak sustava točnih masa izračunava formulom identičnom onoj gornjoj, a ta se formula koristi u pronalaženju središta mase točaka. U statistici, vrijednosti više nisu mase, ali kao što ćemo vidjeti, trenuci u statistici još uvijek mjere nešto u odnosu na središte vrijednosti.

Za prvi trenutak smo krenuli a = 1. Formula za prvi trenutak je, dakle, sljedeća:

(x₁x₂ + x₃ +... + x_n)/n

To je identično formuli za uzorak srednja.

Prvi trenutak vrijednosti 1, 3, 6, 10 je (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.

Za drugi trenutak smo krenuli a = 2. Formula drugog trenutka je:

(x₁² + x₂² + x₃² +... + x_n²)/n

Drugi trenutak vrijednosti 1, 3, 6, 10 je (1² + 3² + 6² + 10²) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36.5.

Treći trenutak smo postavili a = 3. Formula za treći trenutak je:

(x₁³ + x₂³ + x₃³ +... + x_n³)/n

Treći trenutak vrijednosti 1, 3, 6, 10 je (1³ + 3³ + 6³ + 10³) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.

Viši momenti mogu se izračunati na sličan način. Samo zamijenite a u gornjoj formuli s brojem koji označava željeni trenutak.

Srodna ideja je ideja o atreći trenutak oko srednje. U ovom proračunu izvodimo sljedeće korake:

1. Prvo izračunajte srednju vrijednost.
2. Zatim oduzmite ovu sredinu od svake vrijednosti.
3. Zatim svaku od tih razlika povisite na ath snage.
4. Sada zajedno dodajte brojeve iz koraka # 3.
5. Na kraju, podijelite ovu svotu s brojem vrijednosti s kojima smo započeli.

Formula za atreći trenutak oko srednje m vrijednosti vrijednosti x₁, x₂, x₃,..., x_n daje:

m_a = ((x₁ - m)^a + (x₂ - m)^a + (x₃ - m)^a +... + (x_n - m)^a)/n

Prvi trenutak oko srednje vrijednosti uvijek je jednak nuli, bez obzira na to koji je skup podataka s kojim radimo. To se može vidjeti u sljedećem:

m₁ = ((x₁ - m) + (x₂ - m) + (x₃ - m) +... + (x_n - m))/n = ((x₁+ x₂ + x₃ +... + x_n) - nm)/n = m - m = 0.

Drugi trenutak oko srednje vrijednosti dobiven je iz gornje formule postavljanjema = 2:

m₂ = ((x₁ - m)² + (x₂ - m)² + (x₃ - m)² +... + (x_n - m)²)/n

Ova je formula jednaka onoj za varijansu uzorka.

Na primjer, razmotrite skupove 1, 3, 6, 10. Već smo izračunali sredinu ovog skupa na 5. Odužite ovo od svake vrijednosti podataka da biste dobili razlike od:

• 1 – 5 = -4
• 3 – 5 = -2
• 6 – 5 = 1
• 10 – 5 = 5

Svaku od tih vrijednosti uvrštavamo u kvadrat i zbrajamo: (-4)² + (-2)² + 1² + 5² = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Na kraju podijelite ovaj broj s brojem podatkovnih točaka: 46/4 = 11.5

Kao što je spomenuto gore, prvi trenutak je srednja, a drugi trenutak oko srednje vrijednosti je uzorak varijacija. Karl Pearson predstavio je korištenje trećeg trenutka o prosjeku u proračunu asimetrija i četvrti trenutak o prosjeku u izračunu od Kurtosis.