Karakteristike stvarnog broja

Što je broj? Pa to ovisi. Postoji mnoštvo različitih vrsta brojeva, svaki sa svojim određenim svojstvima. Jedna vrsta broja na kojoj statistika, vjerojatnost i što se temelji na matematici, naziva se stvarnim brojem.

Da bismo saznali što je pravi broj, prvo ćemo krenuti u krajeve drugih vrsta brojeva.

Najprije učimo o brojevima kako bismo ih brojali. Počeli smo s prstima podudarati brojeve 1, 2 i 3. Tada smo i nastavili ići što je moguće više, što vjerojatno nije bilo tako visoko. Ovi brojevi ili prirodni brojevi bili su jedini brojevi o kojima smo znali.

Kasnije, kada se bavimo oduzimanjem, negativan uvedeni su čitavi brojevi. Skup pozitivnih i negativnih cijelih brojeva naziva se skup cijelih brojeva. Ubrzo nakon toga razmatrani su racionalni brojevi, koji se nazivaju i frakcije. Budući da se svaki cijeli broj može napisati kao ulomak s 1 u nazivniku, kažemo da cijeli brojevi tvore podskup racionalnih brojeva.

prahistorijski Grci shvatio da se ne mogu svi brojevi formirati kao ulomak. Na primjer, kvadratni korijen od 2 ne može se izraziti ulomkom. Ove vrste brojeva nazivamo iracionalnim brojevima. Iracionalni brojevi obiluju, a pomalo iznenađujuće u određenom smislu postoje iracionalniji brojevi nego racionalni brojevi. Ostali iracionalni brojevi uključuju

Svaki se stvarni broj može napisati kao decimalni broj. Različite vrste stvarnih brojeva imaju različite vrste decimalnih ekspanzija. Decimalna ekspanzija racionalnog broja se završava, kao što je 2, 3.25 ili 1.2342, ili se ponavlja, poput .33333.. . Ili .123123123.. . Suprotno ovome, decimalna ekspanzija iracionalnog broja je neprestana i ne ponavljajuća. To možemo vidjeti u decimalnom širenju pi. Za pi nema neprekidni niz znamenaka, a što više, nema niza znamenki koji se ponavlja u nedogled.

Stvarni brojevi mogu se prikazati povezivanjem svakog od njih s jednom od beskonačnog broja točaka duž ravne linije. Stvarni brojevi imaju redoslijed, što znači da za bilo koja dva različita realna broja možemo reći da je jedan veći od drugog. Prema dogovoru, pomicanje ulijevo prema liniji stvarnog broja odgovara manjim i manjim brojevima. Pomicanje udesno duž linije stvarnog broja odgovara većim i većim brojevima.

Pravi se brojevi ponašaju poput ostalih brojeva s kojima smo navikli baviti se. Možemo ih zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti (sve dok ih ne dijelimo sa nulom). Redoslijed zbrajanja i množenja nije bitan, jer postoji komutacijsko svojstvo. Distribucijsko svojstvo govori nam kako množenje i zbrajanje djeluju jedni s drugima.

Kao što smo već spomenuli, stvarni brojevi imaju redoslijed. S obzirom na bilo koja dva realna broja x i y, znamo da je istina jedno i samo sljedeće:

x = y, x < y ili x > y.

Svojstvo koje stvarne brojeve postavlja osim ostalih skupova brojeva, poput racionalnih, je svojstvo poznato kao cjelovitost. Kompletnost je pomalo tehnička za objasniti, ali intuitivna je zamisao da skup racionalnih brojeva ima nedostatke. Skup stvarnih brojeva nema praznina, jer je potpun.

Kao ilustraciju gledat ćemo redoslijed racionalnih brojeva 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,... Svaki izraz ovog niza je aproksimacija za pi, dobiven skraćivanjem decimalne ekspanzije za pi. Uvjeti iz ovog slijeda sve su bliži pi. Međutim, kao što smo spomenuli, pi nije racionalan broj. Moramo koristiti iracionalne brojeve da bismo uvukli rupe brojevne linije do kojih dolazi samo uzimajući u obzir racionalne brojeve.

Ne bi trebalo čuditi da postoji beskonačan broj stvarnih brojeva. To možemo vidjeti prilično lako kad uzmemo u obzir da cijeli brojevi tvore podskup realnih brojeva. To smo mogli vidjeti i uvidom da brojčana linija ima beskonačan broj bodova.

Ono što iznenađuje jest da je beskonačnost koja se koristi za brojanje stvarnih brojeva drugačije vrste od beskonačnosti koja se koristi za brojanje cijelih brojeva. Cijeli brojevi, cjelobrojni brojevi i racionalne vrijednosti su beskrajno beskrajni. Skup realnih brojeva je neograničeno beskonačan.

Stvarni brojevi dobivaju svoje ime da bi ih razdvojili od još veće generalizacije pojma broja. Zamišljeni broj ja definira se kvadratnim korijenom negativnog. Bilo koji stvarni broj pomnožen sa ja poznat je i kao imaginarni broj. Zamišljeni brojevi definitivno protežu našu koncepciju broja, jer oni uopće nisu ono o čemu smo razmišljali kad smo prvi put naučili brojati.